- Математическая морфология.

Электронный математический и медико-биологический журнал. - Т. 6. -

Вып. 2. - 2007. - URL:

http://www.smolensk.ru/user/sgma/MMORPH/TITL.HTM

http://www.smolensk.ru/user/sgma/MMORPH/N-14-html/TITL-14.htm

http://www.smolensk.ru/user/sgma/MMORPH/N-14-html/cont.htm

ПРОСПЕКТ КНИГИ

УДК [611.13/.16 +611.423]:616-006-092.9

Математическая гемодинамика: Монография / Г. В. Кузнецов, А. А. Яшин; Под редакцией А. А. Яшина.— Тула: ТулГУ, НИИ НМТ. Изд-во «Тульский полиграфист», 2002.— 276 с.

ISBN 5-88422-305-6

(kuznecov-1.doc)

В монографии изложены основы теории и моделирования кровотока в сердечно-сосудистой системе человека, базирующиеся на математическом аппарате дифференциальной геометрии, тензорной алгебры и дифференциальном исчислении на гладком многообразии. Изложены основы конформного соответствия между евклидовыми пространствами Eⁿ, геометрии дифференцируемых отображений областей евклидова пространства Eⁿ и геометрии риманова пространства. Используя базовые положения данного математического аппарата, разработана геометрическая теория стационарного движения крови в евклидовом пространстве, основы геометрии стационарного движения крови в субпроективном пространстве, отнесенном к голономным и неголономным реперам.

Для специалистов в области математической биологии и биофизики, теоретической гемодинамики. Может быть полезна аспирантам названных специальностей.

Ил. 5. Библиогр. 214 назв.

Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, проф., главн. науч. сотр. ИРЭ РАН Е. И. Нефёдов (Москва); д-р мед. наук, проф., чл.-корр. Национ. Академии наук (НАЛ) Украины, директор Ин-та гастроэнтерологии НАН Украины Ю. А. Филиппов (Украина, Днепропетровск)

ОГЛАВЛЕНИЕ

От редактора........................................................................................................5

ГЛАВА 1. Аппарат дифференциальной геометрии. Тензорная

алгебра и дифференциальное исчисление на гладком

многообразии.......................................................................................................8

§ 1. Некоторые основные понятия...…….................................................……........8

§ 2. Метод подвижного репера. Уравнения структуры евклидова

пространства......................…….........................................................................25

§ 3. Понятие связности. Связности в расслоениях.……...............................……..46

ГЛАВА 2. Геометрия евклидова пространства...............…..........................……...57

§ 4. Конформное соответствие между евклидовыми

пространствами............................................................………............................57

§ 5. Конформное соответствие между областями евклидова

пространства Eⁿ ..............................................................................……….........67

§ 6. Геодезическое соответствие между евклидовыми

пространствами.......................................................................……….................72

§ 7. Гиперраспределения, соответствующие различным видам

дифференцируемых отображений........................................……….................…..78

§ 8. Геометрия дифференцируемых отображений областей

евклидова пространства....................................................................………........83

§ 9. Об одном соответствии в евклидовом пространстве Eⁿ

§10.0 векторах второго порядка и гиперраспределениях в

евклидовом пространстве Eⁿ.....……….............................................................…99

ГЛАВА 3. Геометрия риманова пространства....................……....................…….105

§ 11. О конформном соответствии между евклидовым и римановым

пространствами.…………………...............................................................………106

§ 12. Конформное соответствие между евклидовым и

эйнштейновским пространствами.....................………..................................…….122

§ 13. Конформное соответствие между евклидовым и

субпроективным пространствами..................………......................................……129

§ 14. Геодезическое соответствие между евклидовым и

римановым пространствами...................………..............................................…..139

§ 15. Об одном способе вычисления векторов второго порядка....………..………..149

ГЛАВА 4. К геометрической теории стационарного движения крови

а евклидовом пространстве..............................................…............................….157

§ 16. Некоторые основы применения геометрии в гемодинамике..……….…………157

§ 17. Основные понятия и уравнения геометрии ССС в

трехмерном евклидовом пространстве......……….........................................…….164

§ 18. Поверхности полной энергии в гемодинамике........……….................……….174

§ 19. Об одном случае стационарного турбулентного движения

крови..............................................………..........................................................194

§ 20. Ламинарное движение крови в участке сосуда.............………............………213

§21. Движение крови как геодезический поток в евклидовом пространстве Е³……………………….....................................................................................…219

ГЛАВА 5. Основы геометрии стационарного движения крови в

субпроективном пространстве, отнесенном к голономным реперам.….....………….226

§ 22. Особенности геометрии сердечно-сосудистой системы

человека........………........................................................................................... 226

§ 23. Дифференциальные операторы для субпроективного

пространства, отнесенного к голономному реперу………...........................……….228

§ 24. Основные кинематические уравнения.............………..........................………239

§ 25. Уравнения Гельмгольца для движения крови в

субпроективном пространстве..............................………..............................…….250

ГЛАВА 6. Геометрия стационарного движения крови в субпроективном

пространстве, отнесенном к неголономным реперам.......…………............………..253

§ 26. Дифференциальные операторы в субпроективном

пространстве, отнесенном к неголономным реперам......……….................………..253

§ 27. Некоторые уравнения гемодинамики для субпроективного пространства,

отнесенного к неголономным реперам…………….........……………………............256

Заключение....................................................…..................................................261

Литература........................................................…...............................................263

ОТ РЕДАКТОРА

Чем больше меняется, тем больше становится самим собой.

Альфонс Карр «Осы», 1849

История исследований, составивших предмет настоящей книги, достаточно давняя. В самом начале 80-х годов века минувшего, пишущий эти строки, работая в оборонной промышленности, по совместительству преподавал на кафедре теоретической физики Тульского пединститута им. Л. Н. Толстого, где обратил внимание на прилежного студента математического факультета — явно с задатками будущего ученого. В это же время, а точнее в 1981 году, в очередном номере американского журнала «Труды института инженеров по электротехнике и радиоэлектронике» (ТИИЭР), выходящего в полном русском переводе, была опубликована статья Ж. А. Дешама [151], посвященная возможности замены традиционного векторного анализа, введенного в качестве основного математического метода электродинамики еще Максвеллом, аппаратом дифференциальных форм (внешней алгебры). Я постарался заинтересовать вдумчивого студента данной тематикой, аппелируя к принципиальной в электродинамике новизне метода, ибо до сих пор дифференциальные формы активно использовались, пожалуй, только в кристаллооптике.

В те же годы основным моим интересом являлись приближенные конформные отображения и их использование в сверхвысокочастотной микроэлектронике. В частности, были разработаны новые методы аналитических и экспериментально-аналитических вычислений констант интеграла Кри-стоффеля-Шварца, а также алгоритмы приближенных отображений, использующие вариационные принципы М. А. Лаврентьева, П. Ф. Фильчакова, Монтеля и Линделёфа [210, 211]. К этим исследованиям активно привлекался и мой подопечный. Может поэтому, будучи оставленным для преподавания на матфакультете ТГПУ, он в дальнейшем защитил диссертацию кандидата физико-математических наук по тематике конформного соответствия между евклидовыми пространствами. Тематика же дифференциальных форм в электродинамике, в том числе в биофизической электродинамике, осталась «за мною»; некоторые полученные результаты опубликованы в [157, 212].

Однако жизнь повернулась таким образом, что с середины 90-х годов наши совместные научные интересы вновь обратились к дифференциальной геометрии, на этот раз — к исследованию гемодинамических процессов в биофизике сердечно-сосудистой системе (ССС) человека. Побуждающим моментом здесь явилось то обстоятельство, что в «традиционной» гемодинамике, начиная с Гарвея и Ньютона [1, 2], и вплоть до новейших исследований [34, 38, 41, 71 и др.], преимущественно используется математический аппарат, адекватный применяемому в общей гидродинамике, то есть дифференциальные уравнения не выше второго порядка. На наш взгляд, такой аппарат не вполне продуктивен при описании особенностей столь сложной системы как кровоток. Главное препятствие здесь: сложная, пространственно-разветвленная геометрия [213], поэтому приходится грубо аппроксимировать граничные условия краевых задач или прибегать к формализации сложных систем дифференциальных уравнений в частных производных, алгебраизация которых приводит к гигантским затратам вычислительных ресурсов.

Спецификой же развиваемых в настоящей монографии геометрических подходов является наиболее полный учет системного построения ССС, включая морфологию разветвлений (бифуркаций) и ответвлений. Это особенно значимо для адекватного описания ССС, учитывая что для млекопитающих суммарная длина капиллярных сосудов достигает 100000 километров, а число бифуркаций п удовлетворяет соотношению (0,794)" г_а = 5 ×10^-4 (г_а — радиус аорты, а число в правой части - радиус капилляра в сантиметрах), откуда следует, что п = 30 (для собаки [213]), число же всех сосудов в организме составляет порядок 10⁹.

Еще один существенный момент при разработке методов гемодинами-ческого анализа— и существенно отличный от общей гидродинамики — это агрегативное, то есть клеточное строение крови, усложнявшееся в процессе эволюции живого. Например, если у беспозвоночных гемоглобин свободно растворим в плазме, то у млекопитающих этот белок переносится эритроцитами, число которых составляет до 6×10^б клеток /мм³, а диаметр двояковогнутого эритроцита почти соответствует диаметру капилляра.

Сказанное относится к частной специфике кровотока и организации ССС, именно поэтому авторам потребовалось для создания обобщенной модели ССС тщательно проанализировать и в определенной степени доразвить математический аппарат дифференциальной геометрии, включая дифференциальное исчисление на гладком многообразии, геометрию евклидова пространства и конформное соответствие между областями евклидова пространства Eⁿ, конформные соответствия между евклидовым и римановым пространствами, евклидовым и эйнштейновым пространствами, евклидовым и субпроективным пространствами. Именно геометрия определенных римановых пространств используется авторами для моделирования ССС.

В основу предложенной и исследованной модели ССС положено геометрическое строение целостной системы с учетом специфики сосудов, а также сопоставление пространства ССС — пространства материальной среды живого — геометрическому субпроективному пространству, в терминах которого решаются базовые уравнения кровотока, в частности, уравнение Гельмгольца для движения крови в субпроективном пространстве.

Специфика моделирования потребовала введения ряда характерных понятий: поверхность полной энергии, геодезический поток, соотношение между стационарным турбулентным и ламинарным движением крови в сосуде и др.

Несомненной новизной в исследуемом подходе является описание движения крови как геодезического потока в евклидовом пространстве Е³ , разработанные основы геометрии стационарного движения крови в субпроективном пространстве, отнесенном к голономным и неголономным реперам. Наконец, впервые предложено геометрию ССС ассоциировать с геометрией субпроективного пространства, а «частную» геометрию отдельных участков сосуда — с геометрией евклидова пространства.

Таким образом, результатом предпринятых исследований является создание непротиворечивой, логически выверенной теории моделирования ССС методами дифференциальной геометрии, а созданные модели являются базовыми для решения конкретных биофизических задач исследования ССС человека в состоянии нормального физиологического процесса, и, что наиболее важно,— в состоянии патологии.

Нелишним, в плане познавательном, будет заметить, что в настоящее время столь давняя отрасль математики — дифференциальная геометрия переживает свое «второе рождение». Например, к ее методам все чаще обращается современная теория поля и квантовая механика (калибровочные теории, теория струн и суперструн и др.) [214].

Авторы полагают, что и их скромный вклад в реализацию этой тенденции в области биофизики не останется незамеченным.

Академик Академии медико-технических наук,

д-р техн. наук, д-р биол. наук, профессор А. А. Яшин

06.03. 2002 г.